习题 12, § 4

假设形式 $x.y = B_M(x, y)$ 是非简并的并且 W 是无限的。 认同 E 及其对偶 $E^*$ 通过 $B_M$；特别地，用基$(e_s)$对偶的E的$(e_s^*)$基表示，并用C表示由$e_s^*$生成的单纯圆锥$\overline{C}$的内部。令G为$B_M$的正交群，并令$\mu$为G上的哈尔测度； 群 G 是幺模，包含于 W。

a) 证明，如果$\nu(W \setminus G) < \infty$（其中$\nu$是G下的非零正测度不变量），形式$B_M$具有签名$(n-1, 1)$，其中

对于所有$x \in C$，$x.x < 0$。

(Let $x \in C$ be such that $x.x \neq 0$, and let $L_x$ be the hyperplane orthogonal to $x$. 通过使用 Exerc 显示。 10、$B_M$至$L_x$中的限制为正或负；表明第二种情况意味着 $B_M$ 具有签名 $(1, n-1)$ 并且这是不可能的。 推导出所有 $x \in C$ 都有 $x.x \leq 0$，因此由于 C 是开路，因此也有 $x.x < 0$。）

b) 相反，假设对于所有 $x \in C$，$B_M$ 具有签名 $(n-1,1)$ 和 $x.x < 0$（在这种情况下，$W$、或$(W,S)$、或相应的 Coxeter 图被称为*双曲型*）。令$H$为$x \in E$的集合，使得$x.x < 0$，并令$H_+$为$H$包含于$C$的连通分量。证明$H$是$H_+$和$H_- = -H_+$的不相交的并，并且$H_-$包含在$(e_s)_{s \in S}$生成的单纯圆锥中（使用$H_-$是$H_+$的极坐标这一事实）。证明$H_+$和$H_-$在$W$下是稳定的。

c) 保留$b$的记号和假设。对于所有 $s \in S$，令 $f$ 为由 $f(e_s) = 1$ 定义的 $E$ 上的线性形式。如果$x \in H$，则放入$\varphi(x) = f(x)^2/(x.x)$。如果$\mathbf{PH}$表示空间$\mathbf{P}(E)$中圆锥体$H$的像，则$\mathbf{PH}$上的函数$\varphi$定义函数$\tilde{\varphi}$。显示映射

是正确的。推断出，对于所有 $x \in H_+$、函数 $w \mapsto \varphi(w.x)$ 和 $w \mapsto f(w.x)$ 都达到了值 $w_1 \in W$ 的最大值（使用$G$ 正确作用于 $\mathbf{PH}$、cf. 练习 11 的事实，并且$W$在$G$中是离散的）；证明这些性质等价于 $w_1(x) \in \overline{C}$。推断$\overline{C} \cap H_+$是$H_+$中$W$的作用的*基本域*，并且$\mathbf{PH}$中该基本域的像对于$\mathbf{PH}$上的不变测度$\nu$具有有限测度（使用练习11）。 结论那个$\nu(W \setminus G) < \infty$。证明$W \setminus G$是紧的当且仅当$\overline{C}$包含在$H_+$中，即如果$e_s^*.e_s^* < 0$对于所有$s \in S$（在这种情况下$W$，或$(W,S)$，或相应的 Coxeter图，被认为是*紧双曲型*）。