习题 13, § 4

证明$(W,S)$是双曲型（cf.练习12）当且仅当满足以下两个条件： (H₁) 形式 $B_M$ 不是正数。 (H2) 对于与$S$不同的$S$的任何子集$T$，与Coxeter系统$(W_T, T)$相关的形式$B_{M(T)}$为正。

（如果$(W,S)$是双曲型，我们已经看到$e_s^*.e_s^* \leq 0$对于所有$s \in S$，记号是练习12的限制，$B_M$到超平面$E(s)$正交于$e_s^*$因此为$\geq 0$；因为$E(s)$是由$t \neq s$的$e_t$生成，则相反，假设满足(H₁)和(H2)；令$x = \sum_s a_s e_s$为$E$的元素，使得$x.x < 0$；令$x_+$（或$x_-$）为$a_s e_s$的和，其中$a_s$为$> 0$（或$\leq 0$）；证明$x_+.x_+ < 0$或$x_-.x_- < 0$。 $V$表示由$e_s$和$x \in E$的$H$集合生成的开单纯锥，使得$x.x < 0$，通过使用推导出$H$存在满足$V$的连通分量$H_0$； (H2)，表明$H_0$不满足$V$的墙，因此$H_0 \subset V$推断出形式$B_M(x,y) = x.y$是签名$(n-1,1)$的非简并，并且$C$包含在$-H_0$中，因此事实是$(W,S)$ 是双曲型。）