Bourbaki

习题 3, § 4

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李群与李代数, V

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

假设 (W,S)(W, S) 是不可约的。

a) 证明 WW 模 EE 约化的同位交换律。

b) 如果 WW 是无限的或者 WW 是有限的，则证明 WW 约化到 {1}\{1\} 的中心且最长的元素 w0w_0（cf. 练习 2）是 ≠−1\neq -1。如果WW是有限的并且w0=−1w_0 = -1，则WW的中心是{1,w0}\{1, w_0\}。

c) 显示 WW 中的任何元素 w≠1w \neq 1，使得 wSw−1=SwSw^{-1} = S 变换 CC 到 −C-C（显示w(es)=−ewsw−1w(e_s) = -e_{wsw^{-1}}，首先针对某些 s∈Ss \in S，然后针对所有 s∈Ss \in S）。推出（练习2）只有当WW是有限的并且它等于w0w_0时，这样的元素才存在。

解答

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