习题 7, § 5

*令 R 为正则局部环（交换代数，第 VIII, § 5, no. 1 章），具有最大理想 m 和剩余类域 k。设G为R的自同构的有限群，并令$R' = R^G$为G下元素不变量的R由……组成的子环。这是具有最大理想$m' = m \cap R'$的局部环。假设如下：

(i) $R'$ 是诺特，R 是有限型的 $R'$ 模。

(ii) 合数 $R' \to R \to k$ 是满射的。

把$V = m/m^2$；这是一个$k$向量空间。 G 的作用在 R 定义同态 $\varepsilon : G \to \mathbf{GL}(V)$ 上。

a) 令 $\mathfrak{p}$ 为高度为 1 的 R 的素理想（交换代数，第 VII, § 1, no. 6 章），并令 $s \in G$ 使得 $s(\mathfrak{p}) = \mathfrak{p}$ 且 s 对 $R/\mathfrak{p}$ 作用微不足道。证明$\varepsilon(s)$是V的伪反射。 （$m/m^2$中$\mathfrak{p}$的注像是维数0或1。）

b) 证明，如果$R'$是正则的，$\mathbf{GL}(V)$的子群$\varepsilon(G)$是由伪反射生成的，（令H为元素生成的G的子群，其中$\varepsilon$下的像是伪反射，并令$R^H$为R 的子环元素的由……组成在 H 下不变。 使用 a) 表明，高度为 1 的 $R'$ 素理想在 $R^H$ 中没有分支；利用$R^H$是整闭的事实，通过纯度定理$^{11}$推导出$R' = R^H$，所以$H = G$。）

c) 现在假设 G 的阶与 $k$ 的特征互质。证明 $\varepsilon$ 是单射的。

令 $(m'_n)$ 为由 R 的 m 进过滤$(m^n)$ 引起的$R'$ 的过滤，并让

是 $R'$ 的相关分级代数到 R 的典范同态（交换代数，第 III, § 2）。 Show that i is injective, and that its image is the subring $\operatorname{gr}(R)^G$ of $\operatorname{gr}(R)$ consisting of the elements invariant under G.

d) 保留c)的假设和记号，并进一步假设$\varepsilon(G)$是由伪反射产生的。如果$l = \dim V$，令$P_1, \ldots, P_l$是$k$-代数$\operatorname{gr}(R)^G$的代数独立齐次生成元（这样的元素由Th.4存在并且$\operatorname{gr}(R)$可以与V的对称代数识别）；让$p_1, \ldots, p_l$成为他们的次数。通过c)，我们可以找到$x_i \in m'_{p_i}$使得$\operatorname{gr}(x_i) = P_i$。证明 $x_i$ 生成是理想的 $m'$ 并推断 $R'$ 是正则的。*