习题 8, § 5

*令V为域K上的有限维向量空间，令S为V的对称代数，令G为$\mathbf{GL}(V)$的有限子群。认为

11Cf。 M. Auslander，《关于分支轨迹的纯度》，Amer。 J. of Math.，v. LXXXIV (1962)，p. 116-125。

$G$ 的对称不变量的代数 $S^G$ 是分级多项式代数。

a) 令$u$为$V$的对偶$V^*$的元素，并令$G_u$为元素的$G$由……组成的子群，而$u$不变。 证明 $G_u$ 是由伪反射生成的。 （线性形式$u$扩展至同态$f_u : S \to K$。 如果$S_u$相对于$f_u$的核表示$S$的局部环； 环 $S_u$ 是常规的。 结论 by 应用锻炼。 7 b) 到$G_u$，被视为群 / 自同构 / $S_u$。） 特别地，$G$是由伪反射生成的。

b) 令$A$为$V^*$的子集，并令$G_A = \bigcap_{u \in A} G_u$。证明 $G_A$ 是由伪反射生成的。 （如有必要，扩展基域，我们可以假设$K$是无限的。证明在这种情况下，存在由$A$生成的$V^*$的向量子空间的元素$v$，使得$G_v = G_A$。结论应用a) 至 $v$。)