Bourbaki

习题 3, § 6

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李群与李代数, V

Bourbaki marks this one as harder than the rest.

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

令 K 为交换环，E 自由K-模与基 (e1,…,el)(e_1, \ldots, e_l)，以及 E 的对偶的 f1,…,flf_1, \ldots, f_l 元素。放入 aij=fi(ej)a_{ij} = f_i(e_j)。如果1≤i≤l1 \leq i \leq l，令sis_i为伪反射sei,fis_{e_i, f_i}（§ 2，练习1）。然后

si(ej)=ej−aijei. s_i(e_j) = e_j - a_{ij} e_i.

输入c=s1…slc = s_1 \ldots s_l和zi=c(ei)z_i = c(e_i)。

a) 对于1≤i,k≤l1 \leq i, k \leq l，输入

yik=s1…sk(ei)andyi=s1…si−1(ei)=yii−1. y_i^k = s_1 \ldots s_k(e_i) \quad \text{and} \quad y_i = s_1 \ldots s_{i-1}(e_i) = y_i^{i-1}.

因此yi0=eiy_i^0 = e_i和yil=ziy_i^l = z_i。

表明

yik−1−yik=akiyk. y_i^{k-1} - y_i^k = a_{ki} y_k.

推算出公式

ci=yi+∑k<iakiyk c_i = y_i + \sum_{k < i} a_{ki} y_k
zi=yi−∑k≥iakiyk. z_i = y_i - \sum_{k \geq i} a_{ki} y_k.

b) 令C为cc相对于基(ei)(e_i)的矩阵。令 U=(uij)U = (u_{ij}) 和 V=(vij)V = (v_{ij}) 为矩阵定义为

uij={aijif i<j0otherwise,vij={0if i<jaijotherwise. u_{ij} = \begin{cases} a_{ij} & \text{if } i < j \\ 0 & \text{otherwise,} \end{cases} \quad v_{ij} = \begin{cases} 0 & \text{if } i < j \\ a_{ij} & \text{otherwise.} \end{cases}

矩阵 I+UI + U 可逆行列式 1。证明

C=(I−V)(I+U)−1. C = (I - V)(I + U)^{-1}.

推断出

det⁡(λI−C)=det⁡((λ−1)I+V+λU), \det(\lambda I - C) = \det((\lambda - 1)I + V + \lambda U),

其他字

det⁡(λI−C)=∣(λ−1)+a11λa12λa13⋯λa1la21λ(λ−1)+a22λa23⋯λa2la31a32(λ−1)+a33⋯λa3l⋮⋮⋮⋱⋮al1al2al3⋯(λ−1)+all∣. \det(\lambda I - C) = \left| \begin{array}{cccccc} (\lambda - 1) + a_{11} & \lambda a_{12} & \lambda a_{13} & \cdots & \lambda a_{1l} \\ a_{21} & \lambda(\lambda - 1) + a_{22} & \lambda a_{23} & \cdots & \lambda a_{2l} \\ a_{31} & a_{32} & (\lambda - 1) + a_{33} & \cdots & \lambda a_{3l} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{l1} & a_{l2} & a_{l3} & \cdots & (\lambda - 1) + a_{ll} \end{array} \right|.

c) 令Γ=(I,S)\Gamma = (I, S)为顶点集合为I=[1,l]I = [1, l]且箭头集合SS为子集{i,j}\{i, j\}的集合和II的集合以及2个元素的图，使得aij≠0a_{ij} \neq 0 或 aji≠0a_{ji} \neq 0。如果α={i,j}\alpha = \{i, j\}属于到SS，用σα\sigma_\alpha表示ii和jj的转置（视为对称群SIS_I的元素），并放入aα=−aijajia_\alpha = -a_{ij}a_{ji}。

设B\mathscr{B}为顶点为不相交的的箭头的SS由……组成的子集中的集合。如果X∈BX \in \mathscr{B}，用i∈Ii \in I的C(X)C(X)集合表示不是XX任何箭头的顶点，并放入σX=∏α∈Xσα,aX=∏α∈Xaα\sigma_X = \prod_{\alpha \in X} \sigma_\alpha, a_X = \prod_{\alpha \in X} a_\alpha。

令σ∈SI\sigma \in S_I，令dσd_\sigma为(λ−1)I+V+λU(\lambda - 1)I + V + \lambda U行列式的展开中的项相应的至σ\sigma。证明，如果 σ\sigma 是形式 σX\sigma_X，且有 X∈BX \in \mathscr{B}，则

dσ=aXλCard⁡(X)∏i∈C(X)(λ−1+aii). d_\sigma = a_X \lambda^{\operatorname{Card}(X)} \prod_{i \in C(X)} (\lambda - 1 + a_{ii}).

现在假设Γ\Gamma是一片森林（第IV、附录、no. 3章节）。证明，如果 σ∈Sl\sigma \in S_l 不是形式 σX\sigma_X 与 X∈BX \in \mathscr{B}，则dσ=0d_\sigma = 0。推导出公式

det⁡(λ−c)=∑X∈BaXλCard⁡(X)∏i∈C(X)(λ−1+aii). \det(\lambda - c) = \sum_{X \in \mathscr{B}} a_X \lambda^{\operatorname{Card}(X)} \prod_{i \in C(X)} (\lambda - 1 + a_{ii}).

d) 考虑多项式

P(X)=∣Xa12…a1la21X…a2l⋮⋮⋱⋮al1al2…X∣. P(X) = \left| \begin{array}{cccc} X & a_{12} & \ldots & a_{1l} \\ a_{21} & X & \ldots & a_{2l} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{l1} & a_{l2} & \ldots & X \end{array} \right|.

对于c)中的假设，我们为所有ii添加aii=1a_{ii} = 1。表明在这种情况下

det⁡(λ2−c)=λlP(λ+λ−1). \det(\lambda^2 - c) = \lambda^l P(\lambda + \lambda^{-1}).

习题

解答

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