习题 15, § 2

假设$k$是无限的。令$\mathfrak{g}$为李代数，$\mathfrak{g}$的升中中央级数的$\mathscr{C}_{\infty}\mathfrak{g}$并，以及$\mathfrak{g}$的$x$元素。证明等价以下性质：

(i) $x$ 属于到$\mathfrak{g}$ 的每嘉当子代数。

(ii) $x\in \mathfrak{g}^0(y)$ 对于所有$y\in \mathfrak{g}$（即$x\in \mathfrak{g}^0(\mathfrak{g})$）。

（三）$x\in \mathscr{C}_{\infty}\mathfrak{g}$。

（含义 (iii) $=\Rightarrow$(ii) $=\Rightarrow$(i) 为直接的。为了证明 (i) $=\Rightarrow$(ii), 注 (i) 相当于说即 $x\in \mathfrak{g}^0(y)$，对于每个正则元素 $y$ $\mathfrak{g}$，并使用正则元素在Zariski拓扑中的$\mathfrak{g}$稠密的事实来证明(ii)$=\Rightarrow$(iii)，观察$\mathfrak{n}=\mathfrak{g}^0(\mathfrak{g})$在$\mathfrak{g}($§1下稳定，并应用恩格尔5)。 定理到$\mathfrak{g}$-模块$\mathfrak{n}$；推断$\mathfrak{n}$包含在$\mathscr{L}_{\infty}\mathfrak{g}.)$中