习题 13, § 1

假设$k=\mathbf{C}$。把$C =H^2+ 2H-4X_-X_+$，cf.锻炼。 1. 如果$\rho$的基础空间具有基由……组成的$\rho (H)$特征向量，则$\mathfrak{s}=\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2,\mathbf{C})$的表示$\rho$被称为$H$可对角化的。设$q\in \mathbf{C}$和$v\in \mathbf{Q}/\mathbf{Z}$。

a) 令 S 为向量空间，其中基 $(e_w)_{w\in\mathbf{C}}$ 由 $\mathbf{C}$ 的元素索引。让$S_v=\sum_{w\in v}\mathbf{C}e_w$。 $S_v$ 上存在$\mathfrak{s}$ 的唯一表示 $\rho_{v,q}$，使得

即使 $k$ 可数，$^7$ 结论仍然成立，cf. D. QUILLEN，关于

自同态环的单模在包络线代数上，过程。阿米尔。

Math. Soc., Vol. XXI (1969), pp. 171-172.

（我们同意，对于所有$z\in \mathbf{C},z^{1/2}$，$z$的平方根，其幅度为属于到$0, \pi .$）用$S_{v,q}$表示由$\rho_{v,q}$定义的$\mathfrak{s}$模。我们有$\rho_{v,q}(C) = 4q$。

b) 如果对于所有 $u\in v, S_{v,q}$ $q\not=u^2+u$ 是简单的。

c) 假设$2v\not= 0$，并且$q$是形式$u^2+u$，其中$u\in v, u\geq 0$（其中定义$u$是唯一的）。令$S^-_{v,q}$（或$S^+_{v,q}$）为由$w\leq u$（或$w > u$）的$e_w$生成的$S_v$的向量子空间。那么$S^-_{v,q}$和$S^+_{v,q}$是$\mathfrak{s}$的简单子模块$S_{v,q}$。

d) 假设$2v= 0$，且$q$为形式$u^2+u$，其中$u\in v, u\geq 0$（定义$u$唯一）。令$S^-_{v,q}$（或$S^0_{v,q},S^+_{v,q}$）为由$w <-u$（或$-u\leq w\leq u, w > u$）的$e_w$生成的$S_v$的向量子空间。那么$S^-_{v,q},S^0_{v,q}$和$S^+_{v,q}$是$\mathfrak{s}$的简单子模块$S_{v,q}$。

e) 假设$v=-\frac{1}{2}+\mathbf{Z}$和$q=-\frac{1}{4}$。令$S^-_{-1/2,-1/4}$（或$S^+_{-1/2,-1/4}$）为由$e_w$为$w\leq -\frac{1}{2}$（或$w >-\frac{1}{2}$）生成的$S_{-1/2}$的向量子空间。那么$S^-_{-1/2,-1/4}$和$S^+_{-1/2,-1/4}$是$\mathfrak{s}$的简单子模块$S_{-1/2,-1/4}$。

f) 用$\rho^{\pm}_{v,q}, \rho^0_{v,q}$表示相应的至$S^{\pm}_{v,q},S^0_{v,q}$表示。在情况b)中，元素$x\in \mathfrak{s}$使得$\rho^-_{v,q}(x)$承认特征值是$\mathbf{C}H$中的那些。在$c),d),e)$、元素$x\in \mathfrak{s}$的情况下，$\rho^-_{v,q}(x)$承认特征值是$\mathbf{C}H+\mathbf{C}X_+$中的情况；如果在加法中，$x$是幂零的（因此与$X_+$成正比）且非零，则$\rho^-_{v,q}(x)$承认0作为其唯一的特征值，并且重数为1；另一方面，如果$x$是半单，则$\rho^-_{v,q}$的基础空间有基由……组成的$\rho^-_{v,q}(x)$特征向量。 $\rho^+_{v,q}$、替换 $X_+$ 和 $X_-$ 也有类似结果。

g) 让V是一个简单的$\mathfrak{s}$模块，$\rho$相应的表示。那么$\rho (C)$就是位似（使用Exerc.11）。假设$\rho (C) = 4q$。证明，如果 $\rho$ 是 $H$ 可对角化的，则 V 同构于 $b),c),d),e)$ 中考虑的模 $S_{v,q},S^{\pm}_{v,q},S^0_{v,q}$ 之一。此外，当且仅当$\rho (H)$承认特征值时，$\rho$是$H$可对角的；只要 $\rho (X_+)$ 承认特征值 0 就足够了。