习题 16, § 1

令$\mathfrak{g}$为维数3的简单李代数，并令$\Phi$为其杀戮形式。用$\mathfrak{o}(\Phi )$表示$\Phi$的正交代数，即$\mathfrak{g}\mathfrak{l}(\mathfrak{g})$的子代数、元素的由……组成，而$\Phi$不变。

a) 显示 ad$:\mathfrak{g}\rightarrow \mathfrak{o}(\Phi )$ 是同构。

b) 证明等价以下性质：

(i) $\mathfrak{g}$ 包含非零各向同性向量 （对于 $\Phi$ ）。

(ii) $\mathfrak{g}$ 包含非零幂零元。

(iii) $\mathfrak{g}$ 与 $\mathfrak{s}$ 同构的。

c) 证明存在$k$、次数$\leq 2$的扩张$k_1$，使得$\mathfrak{g}_{(k_1)}=k_1\otimes_k\mathfrak{g}$与$\mathfrak{s}_{(k_1)}$同构的。

$^8$ 有关 Exerc 的更多详细信息。 12、13和14，参见：D. ARNAL和G. PINCZON，

关于谎言 $\mathfrak{s}\mathfrak{l}$(2) 的不可还原的代数表示，J.

数学。物理，卷。 15 (1974)，第 350-359 页。 d) 给出向量空间 $A =k\oplus \mathfrak{g}$ 唯一代数结构承认 1 作为单位元，并且乘积 $\mathfrak{g}\times \mathfrak{g}\rightarrow A$ 由公式给出

证明A是$k$上的四元数代数，并且$\mathfrak{g}$是迹零的元素由……组成的谎言子代数（约化，由基域的扩张，到$\mathfrak{g}=\mathfrak{s}$的情况，并且表明然后可以用矩阵代数 $\mathbf{M}_2(k)$ 来识别 A）。

Conversely, if D is a quaternion algebra over $k$, the elements of D of trace zero form a simple Lie algebra of dimension 3, and the corresponding algebra A can be identified with D.

e) 证明公式

$\Phi (x, x) =-$8Nrd$_A(x),\Phi (x, y) =$ 4Trd$_A(xy)$

f) 证明$\Phi$（相对于$\mathfrak{g}$的任何基）的判别式为形式$-2\lambda^2$，以及$\lambda \in k^*$。

g) 设$n$为整数$\geq 0$。证明$\mathfrak{g}$-模块$\mathbf{S}^n(\mathfrak{g})$具有唯一的简单子模维数$2n+ 1$，并且这个模绝对简单（约化对于$\mathfrak{g}=\mathfrak{s}$的情况，并使用Exerc.9）。

仅当 $\mathfrak{g}$ 同构于 $\mathfrak{s}$ 时，即仅当 A 与 $\mathbf{M}_2(k)$ 同构时，证明 $\mathfrak{g}$ 的绝对单模为维数 $2n$。 （令V为模。如果为$n\geq 2$，则通过Exerc.$6c$表明）$\mathfrak{g}$-模块$V\otimes \mathfrak{g}$具有维数$2n-2$的唯一绝对简单子模。然后约化到案例$n= 1$，这是微不足道的。）