习题 10, § 5

令$\mathfrak{h}$为$\mathfrak{g}$的分裂嘉当子代数，$(X_{\alpha})_{\alpha\in R}$为$(\mathfrak{g},\mathfrak{h})$、cf.§2, no. 4中的Chevalley系统。如果$\alpha \in R$，则将

并用$\theta_{\alpha}$生成的Aut$_e(\mathfrak{g},\mathfrak{h})$的$\overline{W}$子群表示。

a) 显示$\varepsilon (W) = W(R)$。

b) 设$s\in W$，并设$w=\varepsilon (s)$。表明

$s(X_{\alpha}) =\pm X_{w(\alpha)}$ 对于所有$\alpha \in R$。

（使用 §2 中的练习 5。）

c) 设 M 为 $\varepsilon :\overline{W}\rightarrow W(R)$ 中的核。证明M包含在元素$f(\varphi )$的$f(T_Q)$由……组成的子群中，使得$\varphi^2= 1$。证明 M 包含元素 $f(\varphi_{\alpha})$ 由 $\varphi_{\alpha}(\beta ) = (-1)^{\langle\beta ,\alpha^{\vee}\rangle}$ 定义（注 $\theta^2_{\alpha}=f(\varphi_{\alpha})$）。

$d)^*$让$\varphi \in$坎(Q$,\{\pm 1\}$)。证明$f(\varphi )$属于到M当且仅当$\varphi$扩展到同态从P到$\{\pm 1\}$。 （充分性源自 M 包含于 $f(\varphi_{\alpha})$。为了证明必要性，约化对应于 $k=\mathbf{Q}$ 的情况，并使用 M 包含在 $f(T_Q)\cap$ Aut$_e(\mathfrak{g}) =$ Im(T$_P$), cf. 中的事实§7, $26d$)$.)$ 推出 M 与群 $Q/(Q\cap 2P).^{13}$\* 的对偶同构