习题 23, § 7

设$U^0$为$\mathfrak{h}$在$U(\mathfrak{g})$(cf.§6, no. 4)中的交换子。

a) 令 V 为（有限维）$\mathfrak{g}$-模。证明 $V^{\lambda},\lambda \in P$ 在 $U^0$ 下是稳定的，并且如果 V 是简单的并且 $V^{\lambda}\not= 0, V^{\lambda}$ 是一个简单的 $U^0$ 模块（使用分解 $U(\mathfrak{g}) =\oplus U^{\lambda}$，前述）。

b) 证明，对于$U^0$的每个元素$c\not= 0$，都存在一个$U^0$的有限维简单表示$\rho$，使得$\rho (c)\not= 0$。 （使用$a$）和章。 I, §7，锻炼。 $3a).)$