习题 18, § 8

设$\mathfrak{a}$为半单李代数，$l=$ rk($\mathfrak{a}$)$, I$代数，$\mathfrak{a}$上的不变量多项式函数，以及I生成的的$P_1, . . . ,P_l$齐次元素 I 为代数。 $P_i$ 定义多项式映射 $P :\mathfrak{a}\rightarrow k^l$。如果$x\in \mathfrak{a}$，用$D_xP :\mathfrak{a}\rightarrow k^l$表示P在$x$处的切线映射（章节VII，附录I，no. 2）。

a) 令$\mathfrak{h}$为$\mathfrak{a}$的嘉当子代数，并令$x\in \mathfrak{h}$。证明等价：

(i) 从$\mathfrak{h}$到$k^l$，$D_xP|\mathfrak{h}$是同构；

(ii) $x$ 是规则的。

（约化到分裂的的情况。$\mathfrak{h}$的选择基，并用$d(x)$表示$D_xP|\mathfrak{h}$的矩阵相对于这个基的行列式。通过第5章的第5条证明） V, §5, no. 4，存在$c\in k^*$使得$d(x)^2=c\prod_{\alpha\in R}\alpha (x)$，

其中 $\alpha$ 属于到集合 R 根 $(\mathfrak{a},\mathfrak{h}).)$

如果满足这些条件，则$\mathfrak{a}=\mathfrak{h}\oplus$Im ad($x$)和Ker$D_xP =$Im ad($x$)（使用Exerc.6来证明$D_xP$在Im ad($x$)上消失）。

b) 证明$x\in \mathfrak{a}$的集合使得$D_xP$是秩$l$，是Zariski拓扑中$\mathfrak{a}$的密集开子集。