习题 2, § 1

a) 令$X$为有序集合。显示集合的间隔

是 $X$ 上的拓扑的基；这个拓扑称为$X$的右（或左）拓扑。在右边拓扑中，开集合的任意交都是开集合，$\{x\}$的闭包是区间$] \leftarrow, x]$。

b) 如果拓扑空间满足以下条件，则称其为柯尔莫戈洛夫空间：给定$X$的任意两个不同的点$x, x'$，其中点之一存在邻域，且不存在邻域包含另一个。证明有序集合与右拓扑是柯尔莫戈洛夫空间。

c) 设$X$为柯尔莫戈洛夫空间，其中开集合的每个交都是一个开集合。证明$x \in \{x'\}$是$X$中$x$和$x'$之间的序关系，并且如果将这个关系写成$x \leqslant x'$，那么$X$上给定的拓扑与由此确定的右拓扑相同订购。

d) 从 c) 推导出，如果 $X$ 是柯尔莫戈洛夫空间，则 $X$ 的每个有限非空子集至少有一个孤立的点。因此，如果$X$没有孤立的点，则$X$的每个非空开子集都是无限的。