习题 13, § 10

令 $X$ 为局部紧致空间且 $Y$ 为任意拓扑空间。 a) 证明以下四个叙述是等价的： $\alpha)$ $(G, X, Y)$ 是 $X$ 和 $Y$ 之间的真对应。 $\beta)$ 对于每个 Hausdorff 空间 $X'$，其中包含 $X$ 为子空间，$G$ 在 $X' \times Y$ 中闭合。 $\gamma)$ $G$ 在 $X \times Y$ 中闭合，对于每个 $y \in Y$，$Y$ 中存在 $y$ 的邻域 $V$ 以及 $X$ 的紧凑子集 $K$，使得$(X - K) \times V$不满足$G$。 $\delta)$ 存在紧空间 $X'$、包含 $X$ 作为子空间，使得$G$ 在$X' \times Y$ 内闭。 [证明 $\alpha) \implies \beta)$ 使用习题 12 a) 和 c)。证明 $\delta) \implies \alpha)$、no. 1 的应用命题 2 以及定理 no. 2 1 的推论 5。]

b) 证明如果 $(G, X, Y)$ 是正确的，那么： $\zeta)$ 对于 $Y$ 中的每个紧凑型子集 $L$，$\overline{G}(L)$ 为紧集。 还表明，如果 $Y$ 是局部紧致的，并且如果 $G$ 在 $X \times Y$ 中闭合并且满足 $\zeta)$，则 $(G, X, Y)$ 是正确的。 [使用 $\alpha)$ 和 $\gamma)$ 的等价。] 当 $Y$ 是 Hausdorff 但不是局部紧致 (习题 4) 时，这个最后一个断言不再有效。