习题 9, § 10

a) 令 $X, Y$ 为两个拓扑空间和 $f : X \to Y$ 一个闭满射（但不一定连续）映射。证明如果$\overline{f}^{-1}(y)$对于每个$y \in Y$都是拟紧的，那么$\overline{f}^{-1}(K)$对于$Y$的每个拟紧子集$K$都是拟紧的（要么直接证明结果，要么使用§ 5的习题7并且习题 12 / § 9)。

b) 假设在加法中$X$是正则的。证明如果对于每个 $y \in Y$，$\overline{f}^{-1}(y)$ 在$X$ 中闭合，那么对于 $Y$ 的每个准紧子集 $K$（相同的方法），$\overline{f}^{-1}(K)$ 在$X$ 中闭合。如果 $Y$ 也是局部紧致的，则 $f$ 是连续的。