习题 3, § 2

设$X, X'$是$X$的两个拓扑空间、$f$双射到$X'$：则$f$是同胚的充要条件

(*) 对于空间的例，它满足$(D_{IV})$但既不满足$(D_{II})$也不满足$(D_{III})$，请参见$§ 8$、习题 6 b)。对于空间满足 $(D_{II})$ 和 $(D_{III})$ 中的例，但不是 $(D_I)$，请参见章 IX、$§ 5$、习题 16。对于例空间，其中两个条件$(D_{II}), (D_{III})$之一满足，但另一个不满足，请参见$§ 9$、习题23。

\* 在可度量的空间、$(D_I)$和$(D_{IV})$是等价的：命题 12 of 章IX、$§ 2$、no. 8表明$(D_I)$和$(D_{II})$是等价的；另一方面，如果满足$(D_{IV})$，则对于每个整数$n > 0$，存在一个由相互不相交的个半径为$1/n$的球组成的最大可数族$\mathfrak{B}_n = (B_{nm})_{m \geq 0}$；其并是稠密的。 $B_{nm}$的中心的可数集合是稠密的。 $X$到$X'$的\*是$X'$的拓扑是$f$连续的最好的。