习题 15, § 3

考虑以下 $\mathbf{R}$ 的三个子空间：$X_1 = ] - 1, 1[$、$X_2 = ] - 2, - 1[, X_3 = ] 1, 2[$。令$X$为他们的并；那么$X$就是这三个子空间中的和。设$A_2$（或$A_3$）为$X_2$（或$X_3$）中包含的无理数数的集合；令$B_1$（或$B_2$）为]—$1, 0[$（或$X_2$）中包含的有理数的集合；并设$C_1$（或$C_3$）为]$0, 1[$（或$X_3$）中包含的有理数的集合。令$X/R$为空间，通过同胚$x \to x + 3$将$X_i$(i)沿$A_2$和$A_3$粘贴在一起获得； (ii) 通过同胚 $x \to x - 1$ 沿着 $B_1$ 和 $B_2$； (iii) 通过同胚 $x \to x + 1$ 沿着 $C_1$ 和 $C_3$。证明$X/R$中$X_1$的典范像与$X_1$不同胚。如果$Y = X_1 \cup B_2 \cup C_3$是$X_1$相对于$R$的饱和，证明空间$Y/R_Y$与$X/R$中$Y$的典范像不同胚。 \*