习题 3, § 4

令$(X_i)_{i \in I}$是拓扑空间的无限族，使得每个$X_i$包含（至少）两个不同的点$a_i, b_i$，使得$b_i$有邻域，而没有包含$a_i$。 a) 对于每个指标 $x \in I$，令 $c_x$ 为乘积空间中的点

每当$i \neq x$时，$\operatorname{pr}_x c_x = b_x$和$\operatorname{pr}_i c_x = a_i$。证明点$c_x$的集合$C$中的每个点都是孤立的。 b) 从a)推导出$X$的拓扑有一个可数的基当且仅当$I$是可数的并且每个$X_i$的拓扑有一个可数的基（使用§ 1的习题7）。

c) 证明如果指标集合 $I$ 不可数，则$X$ 的点 $b = (b_i)$ 邻域的基数系统不可数。