习题 5, § 4

令$K$为两个数$0, 1$的离散空间由……组成；令$A$为无限集合，令$X$表示乘积空间$K^{P(A)}$。

a) 令$J$为$A$中的任意有限子集；假设 $J$ 有 $p$ 元素。对于$J$的每个子集$H$，令$M_H$为$A$的子集$L$的集合，使得$L \cap J = H$；将$P(A)$的$M_H$形式划分$\tilde{\omega}_J$转换为$2^p$子集。令$F_J$为那些点$(x_L)_{L \subset A}$中$X$由……组成的子集，使得每当$L$和$M$属于为相同的集合时$x_L = x_M$ 划分$\tilde{\omega}_J$。 $F_J$ 是有限的集合，其中 $2^{2^p}$ 元素。如果$F$是$F_J$的并，因为$J$贯穿$A$的所有有限子集，则证明$F$与$A$等价。

b) 证明$F$在$X$中是稠密的。取$A = \mathbf{N}$，推导出$X$满足§ 1、习题7的条件$(D_{II})$，但不满足满足条件$(D_{III})$（习题4）。