习题 18, § 6

令$X$是一个*分配*格（*集合理论*，章III, § 1，习题16），它至少有元素$o$。

a) 如果$a$是$X$的*不可约*元素（*集合理论*，章III, § 4，习题7），证明$a$的所有上界中的集合是素数预过滤器。给出素预过滤器的例，它不是上界、不可约元、$X$的集合[cf.习题17d)]。

b) 证明 $X$ 上的每个最大预过滤器都是素数 [使用习题 17 f)]。给出分配格上的例素数非极大预滤波器 [习题 17 d)]。

c) 显示每个预过滤器 $F$ 是包含 $F$ 的主预过滤器中的交 [如果 $a \notin F$，则显示集合预过滤器中的极大元素 $U$ 包含 $F$ 但不是$a$ 是素数，乘以利用习题 17 f)]。

d) 令 $\Omega$ 为 $X$ 上的素数预过滤器的集合。对于素数预过滤器$F$的$\Omega$由……组成中的每个$x \in X$，令对应子集$A_x$，使得$x \in F$。证明 $X$ 到 $\mathfrak{P}(\Omega)$ 的映射 $x \to A_x$ 是单射且保序的，$A_{\operatorname{int}(x,y)} = A_x \cap A_y$ 并且