习题 7, § 7

如果拓扑空间 $X$ 的子集 $A$ 是“原始”，如果它是 $X$ 上超滤器的极限点的集合。令$\Upsilon_A$表示$X$上超滤器的集合，其极限点的集合为$A$。

a) 如果$A$是$X$的原语子集，则表明$X$的每个开子集都满足$A$属于到所有超滤器$U \in \Upsilon_A$。

b) 令$A, B$ 为$X$ 的两个不同原语子集。证明存在一个超滤器$U \in \Upsilon_A$、一个超滤器$\mathfrak{B} \in \Upsilon_B$ 和子集 $M$ $X$，使得$M \in U$ 和$\complement M \in \mathfrak{B}$。

c) 设$f : X \to Y$为连续的映射。证明$X$的任何原语子集在$f$下的像都包含在$Y$的原语子集中。

d) 如果$x \in X$和$\{x\}$在$X$内闭，则证明$\{x\}$是$X$的原语子集。