习题 15, § 9

a) 设$X$为拓扑空间，其中每个开子空间都是Lindelöf。证明$X$满足§ 1、习题7的条件$(D_{III})$，并且如果$X$是正则，则$X$的每个闭子集都是开集合的可数交 [cf.习题23 c)]。

b) 令$X$为拓扑空间，其中每个开子空间都是仿紧的。证明 $X$ 的每个开子空间都是 Lindelöf 当且仅当 $X$ 满足 § 1、习题 7 的条件 $(D_{III})$。

c) 设 $X$ 为紧致空间。证明$X$的每个开子空间是Lindelöf当且仅当（i）$X$满足§ 1的条件$(D_{III})$，习题7，并且（ii）$X$的每个闭子集是一个开集合的可数交（使用b）和no. 10的定理 5）。