习题 12, § 4

a) 令 R 为布尔值代数和认同 R，其中 R 上最大预滤波器的子集集合 Ω 布尔值代数 (章 I, § 6, 习题 20)。对于 Ω 的每个有限划分 $\omega = (A_i)$，由集合属于到 R 组成，令 $C_{\overline{\omega}}$ 表示 $\Omega \times \Omega$ 的子集 $\bigcup_i (A_i \times A_i)$。 证明集合 $C_{\overline{\omega}}$ 形式 Ω 上豪斯多夫均匀性的基本系统周边。 Ω 相对于这种均匀性的完备性 $\hat{\Omega}$ 是一个完全断开的紧凑型空间。 $\hat{\Omega}$的子集在$\hat{\Omega}$中既开又闭，当且仅当它是形式$\overline{A}$，其中$A \in R$。证明$A \to \overline{A}$是$R$的映射到$\hat{\Omega}$的子集的集合，它们都是开闭的，并且$CA = C\overline{A}$、$A \cup B = \overline{A} \cup \overline{B}$和$A \cap B = \overline{A} \cap \overline{B}$。推断典范映射 $\Omega \to \hat{\Omega}$ 是双射的。

b) 令$X$为豪斯多夫拓扑空间，其中集合对于拓扑来说既开又闭形式基。 取$R$为$X$的子集构成的开闭布尔值代数；那么关于a)中定义的均匀性$U$，由$X$的完成$\hat{X}$的拓扑在$X$上诱导拓扑是在$X$上给定的拓扑。 另外，具有由开集合构成的基上的$X$上的集合中的极大元素和由闭集合构成的基上的$X$上的集合中的极大元素就均匀性而言是柯西滤波器$U$。 推论出存在连续满射$\varphi : \tilde{X} \to \hat{X}$、$\psi : X' \to \hat{X}$，其中$\tilde{X}, X'$是在章、I, § 9、习题25和24中定义的空间。 证明如果 $X$ 是有理线 $Q$，则 $\psi$ 不是双射。 如果 $X$ 极值断开 (章 I, § 11, 习题 21)，则 $\psi$ 是双射，$\hat{X}$ 极值断开连接，可以用与$X'$相关的半正则空间来识别（章I, § 8，习题20）；因此，极端断开空间可以表征为极端断开紧凑空间的密集子空间。 因此，给出一个极端断开紧致空间的例，它没有孤立的点[(cf.章I, § 11，习题21 f)]。

特别地，如果我们将$X$视为离散的空间，则$\hat{X}$可以用$X$的超滤器空间来识别（章I, § 9，习题26）。