习题 2, § 2

a) 扩展命题 1、2 和 4 到半拓扑群 (§ 1, 习题 2)。 （为了证明子群$H$的闭包$\overline{H}$是子群，首先要注意$SH \subset \overline{H}$对于所有$s \in H$）。

b) 令$G$为群$\mathbf{Z}^{(\mathbf{N})}$，令$e_i$($i \in \mathbf{N}$)为$G$中的元素，除了第$i$之外，所有坐标均为零，第$i$坐标为1。 $n \in \mathbf{N}$，令$V_n$为所有$z = (z_k) \in G$的集合，使得$z = 0$代表$k \leq n$，$z_k \geq 0$代表$k > n$。 $V_n$形式是$0$的邻域的基本系统对于拓扑，这使得$G$成为Hausdorff副拓扑群。令$H$为由元素$e_0 + e_n \ (n \geq 1)$生成的$G$的子群，证明$H$是离散的，但在$G$中不闭，并且$\overline{H}$不是$G$的子群。