习题 26, § 2

令$(G_i)_{i \in I}$为拓扑群族，对于每个$i \in I$，令$K_i$为$G_i$的开法线子群。让$\mathfrak{B}$表示乘积拓扑群$K = \prod_{i \in I} K_i$中单位元素的邻域滤波器。表明在乘积群$G = \prod_{i \in I} G_i$中，$\mathfrak{B}$是邻域基$e$过滤器对于拓扑与$G$群结构兼容。 群$G$，赋予这个拓扑，被称为$G_i$的局部乘积（相对于$K_i$）；那么$K$是$G$的开法线子群，$G/K$同构于群$G_i/K_i$的（离散）乘积。如果，对于每个 $i \in I$，$K'_i$ 是另一个 $G_i$ 的开正常子群，则$G$ 上的本地乘积拓扑由$(K_i)$ 和$(K'_i)$ 族定义，重合当且仅当$K'_i = K_i$ 除了有限的数指标之外。

对于每个$x \in I$，令$G'_k$为所有$x = (x_i)$的$G$由……组成的正常子群，使得每当$i \neq x$时$x_i = e_i$。那么$G'_x$，以及由$G$上的局部乘积拓扑引发的拓扑，与$G_x$自然同构。由$G'_i$生成的子群的$G$中的闭包是$G$的正常子群$G_0$，它由所有$x = (x_i)$组成，使得除了指标的有限数之外的所有$x_i \in K_i$。 $G_0$据说是$G_i$的*本地直达乘积*（相对于$K'$）； $G_0/K$ 是一个离散的群同构于 $G_i/K_i$ 的直接乘积。