习题 9, § 4

Let $G$ be a topological 群 operating continuously on two 空间 $X$ and $X'$, and let $f : X \to X'$ be a continuous 映射 compatible with 恒等映射 of $G$ ($\S$ 2, no. 4).设 $\bar{f} : X/G \to X'/G$ 为 $f$ 在商空间上导出的连续映射。

a) 证明如果 $f$ 是开集（分别是闭集、真集、单射的、满射），那么 $\bar{f}$ 也是开集。 （为了证明如果$f$是适当的，则$\bar{f}$是适当的，证明$\bar{f}$下的$X'/G$的点的逆像是拟紧的。）

b) 假设$G$正确且自由地作用于$X$和$X'$。证明如果 $\bar{f}$ 是正确的，那么 $f$ 也是正确的 [观察 $f$ 到轨道 $G.x$ 的限制是$G.f(x)$ 的同胚]。