习题 6, § 5

a) 令$\sigma$为$\mathbf{N}$的置换，令$\varphi(n)$为$\mathbf{N}$的区间的最小的数，其中并为$\sigma([0, n])$。假设 $\varphi(n)$ 是*有界*的，因为 $n$ 穿过 $\mathbf{N}$。那么，如果 $(u_n)$ 是任何收敛的级数，其项属于到 Hausdorff 交换律群 $G$，级数 $(u_{\sigma(n)})$ 是收敛的，并且与 $(u_n)$ 具有相同的和。

\* b) 假设 $\varphi(n)$ 不受 $\mathbf{N}$ 的限制。 构造级数$(u_n)$，其中项属于到加法群$\mathbf{R}$，并且在$\mathbf{R}$收敛，但级数$(u_{\sigma(n)})$不收敛。 [考虑整数的严格递增的序列$(m_k)$，由$k$上的归纳定义，满足以下条件：（i）如果$[0, n_k]$是最大的区间$\mathbf{N}$ 与左手肢体 $0$ 包含在 $\sigma([0, m_k])$ 中，则

(ii) $\varphi(m_k) \geq k + 1$。然后定义 $u_n$ 适当地对应 $n_k < n < n_{k+1}$。推广到由$0$的每个邻域生成的完整Hausdorff交换群$G$的情况。 \*