习题 22, § 6

在具有与 $K$ 的环结构兼容的 Hausdorff 拓扑 $\mathfrak{T}$ 的除法环 $K$ 中，如果 $(\mathbf{C}R)^{-1}$ 则称集合 $R$ 包含 $o$ 是回溯的有界。如果$K$相对于$\mathfrak{T}$存在$o$的回溯邻域的基本系统，则称$\mathfrak{T}$为局部回溯。

a) 局部逆向拓扑$T$是局部有界的，并且是与$K$的环结构兼容的所有豪斯多夫拓扑中集合中的最小元素； $\mathfrak{T}$ 也与 $K$ 的除法环结构兼容 [使用习题 19 a)]。

b) 假设从现在开始，在这个习题中，$\mathfrak{T}$是$K$上的本地回溯拓扑。证明，对于$K$中$o$的每个邻域$V$，$x \to x^{-1}$在$\mathbf{C}V$上均匀连续。因此证明$K$的补全$\hat{K}$是一个拓扑划分环，其拓扑是局部逆行的。

c) $K$ 中$o$ 的每个邻域（相对于$\mathfrak{T}$）包含邻域 $V$ $o$，使得$E(V) = (\mathbf{C}V) \cap (\mathbf{C}V)^{-1}$ 不为空。证明 $E(V)$ 上的三个均匀性是由加性均匀性和$K$、重合上的两个乘性均匀性引起的。推断，如果 $K$ 完备，则 $K^*$ 对于任一乘法均匀性也是完备的。

d) 证明如果 $x$ 是 $K^*$ 的元素，则以下三个叙述恰好之一为真： (i) $x$ 拓扑幂零； (ii) $x^{-1}$ 是拓扑幂零的； (iii) 序列 $(x^n)_{n \in \mathbf{Z}}$ 有界。 [通过考虑 $o$ 有界邻域 $U$ 使得 $UU \subset U$

(习题 20 d))，证明如果 o 是序列 $(x^n)_{n \geq 0}$ 的簇点，则 $x$ 拓扑幂零。] 如果 $K$ 包含拓扑幂零元非零，证明o 和所有 $x \in K^*$ 的集合 $B$、由……组成使得 $x^{-1}$ 不是拓扑幂零，是 $K$ 中 o 的有界邻域，在所有内自同构下不变 [使用习题 21 b)]; $B$ 那么包含全部有界于 o 的邻域 $U$，使得 $UU \subset U$；在所有内自同构下不变的邻域的集合有最大元素，如果$K^*$的换位子子群有界，特别是如果$K$是，则重合与$B$ 域。

e) 如果$U$是$K$中o的有界对称邻域，使得$UU \subset U$，则存在$b \in U^*$使得$K^* = U^* \cup ((U^*)^{-1} b)$。 令 $a \in U^*$ 满足 $Ua \subset bU$，并假设序列 $(a^{-n})_{n \geq 0}$ 有界。 证明所有$x \in K$的集合$V$使得$xU$包含在集合$Ua^{-n}$的并中，是o的有界邻域使得$VV \subset V$和$K^* = V^* \cup (V^*)^{-1}$。

f) 假设$K$包含没有非零拓扑幂零元。证明 o 在 $K$ 中存在有界邻域，即 $K$ 的子环 $A$，使得 $K^* = A^* \cup (A^*)^{-1}$。 [以 o 的有界邻域 $V$ 开始，使得 $K^* = V^* \cup (V^*)^{-1}$（参见 e）]；如果$c \in V^*$满足$c(V + V) \subset V$，则观察$V$生成的环$A$包含在集合$Vc^{-n}\ (\ n \geq 0$的并中。