习题 24, § 6

a) 证明$p$进数域$\mathbf{Q}_p$的乘法群$\mathbf{Q}_p^*$的每个子群同构于乘法群子群乘积单位$U$ $\mathbf{Z}_p$ 和与 $\mathbf{Z}$ 或 $\{0\}$ 同构的离散加法子群。

b) 证明子群 $V = 1 + \mathfrak{p}$ $U$ 的紧致子群是群 $1 + \mathfrak{p}^n$ [与习题 23 c)​​ 中的推理相同]。

c) 表明，对于每个 $a \in U$，序列 $(a^{p^n})_{n \in \mathbf{N}}$ 趋向于极限 $\alpha \equiv a \pmod{\mathfrak{p}}$ 以及 $\alpha^p = \alpha$ [表明 $a^{p^n} \equiv a^{p^{n-1}} \pmod{\mathfrak{p}^n}$ 在 $n$ 上趋向于归纳]。证明多项式 $X^{p-1} - 1$ 的所有根（在 $\mathbf{Q}_p$ 的代数闭扩张中）属于到 $\mathbf{Q}_p$ 都是成对不一致模 $\mathfrak{p}$ [应用同余 $x^{p-1} - 1 \equiv 0 \pmod{p}$ 的根之前的内容]。如果$p > 2$且$d$是$n$和$p - 1$的最高公共的因子，则多项式$X^n - 1$在$\mathbf{Q}_p$中恰好有$d$根，即$X^d - 1$的根（同样的方法：取$a$为$X^n - 1$的根）。

因此证明，如果$p > 2$，乘法群$\mathbf{Q}_p^*$的每个紧致子群都是$U$的有限子群的直接乘积[单位元的第$(p-1)$第根的由……组成]并且子群 / 形式 $1 + \mathfrak{p}^n$ [使用 b)]。如何针对 $p = 2$ 修改这些结果？ （让群 $1 + \mathfrak{p}^2$ 播放 $1 + \mathfrak{p}$ 先前播放过的部分）。