习题 25, § 6

a) 设$a \neq 0$为$p$进数数。那么映射$n \to a^n$在$\mathbf{Z}$上连续（作为$\mathbf{Q}_p$的子空间）当且仅当$a \in 1 + \mathfrak{p}$。如果满足条件，则证明$n \to a^n$在$\mathbf{Z}$和扩展上一致连续到$\mathbf{Z}_p$的连续同态进入$U$，用$x \to a^x$表示，如果$a \neq 1$则它是单射的。如果$p > 2$且$m$是最大的整数，使得$a \in 1 + \mathfrak{p}^m$，则$x \to a^x$是$\mathbf{Z}_p$到$1 + \mathfrak{p}^m$的同构。当$p = 2$时，这个叙述要如何修改呢？

b) 证明$\mathbf{Z}_p$到$U$的每个连续同态对于某些$a \in 1 + \mathfrak{p}$来说都是形式$x \to a^x$[如果$f$是这样的同态和$f(1) = a$，那么$f(n) = a^n$对于$n \in \mathbf{Z}$]。

c) 证明映射$(x, y) \to x^y$在$(1 + \mathfrak{p}) \times \mathbf{Z}_p$上连续。如果$p > 2$和$b \in \mathbf{Z}_p$，并且如果$m$是最大的整数使得$b \in \mathfrak{p}^m$，那么映射$x \to x^b$是乘法群$1 + \mathfrak{p}$的同构到乘法上子群 $1 + \mathfrak{p}^{m+1}$ [使用习题 24 b)]。当$p = 2$时，这个叙述要如何修改呢？

d) 如果 $n$ 是整数 $p - 1$ 和 $p$ 的质数，则证明映射 $x = x^n$ 是乘法群 $U$ 的自同构 [使用习题 24 c)]。