习题 9, § 6

a) 如果序列 $(x^n)_{n \geq 1}$ 收敛于 $0$，则拓扑环 $A$ 的元素 $x$（或理想的 $a$）被认为是“拓扑幂幂”。如果由$a^n$（$n \geq 1$）形成的滤波器基收敛于$0$]。拓扑幂零理想的每个元素都是拓扑幂零的。

b) 假设$A$有单位元素并且$A^*$在$A$中开。证明如果 $x$ 是 $A$ 的任何拓扑幂零元，则 $1 - x$ 是单位（观察到 $1 - x^n$ 对于足够大 $n$ 来说是单位）。因此表明，如果（左或右）理想$a$的所有元素都是拓扑幂零的，则$a$包含在$A$的根式中。

c) 假设$A$是完备的并且有单位元素，并且存在$0$的邻域的基本系统，即$A$的加法群的子群。证明如果 $x$ 是拓扑幂零的，则 $1 - x$ 是 $A$ 中的单位。

d) 在c)的假设下，证明如果$y \in A$是拓扑幂零的，则方程$x^2 + x = y$有根$x \in A$，并且$x$是拓扑幂零的。