习题 14, § 2

令$X$为连通的豪斯多夫拓扑空间而不是单个点的由……组成，并令$\Delta$表示$X \times X$的对角线。

a) 证明$C\Delta$中没有划分可以分成两个开集合$D_1, D_2$，使得$D_1^{-1} = D_1$和$D_2^{-1} = D_2$。 [首先指出$D_1(x)$和$D_2(x)$对于章I, § 11的每个$x \in X$是相连的（使用习题 4 a）；推出，如果$y \in D_1(x)$，我们有$D_2(x) \times \{y\} \subset D_1$，并证明这意味着，对于每个$x \in X$，集合、$D_1(x)$、$D_2(x)$之一或另一个为空；因此表明集合 $D_1, D_2$ 之一或另一个为空，这与假设相反。] 推断 $C\Delta$ 是连通的，或者 $C\Delta$ 正好有两个分量 $A, B$ 使得 $B = A^{-1}$。

b) 如果 $\mathfrak{T}_0(X)$ 比 $\mathfrak{T}$ 更粗糙，则 $X$ 上的线性排序被认为与 $X$ 的拓扑 $\mathfrak{T}$ 相容的。从a)推导出，当且仅当$C\Delta$不连通时，$X$上存在这样的线性排序，并且恰好存在两个这样的线性排序。 [使用a)的记号，表明序关系必须是$(x, y) \in A$或$(x, y) \in B = A^{-1}$。]表明这些排序的间隔在拓扑$\mathfrak{T}$中连接，并且它们是$X$的唯一连接的子集 $\mathfrak{T}$。

c) 证明如果 $X$ 在拓扑 $\mathfrak{T}$ 中是局部连通的或局部紧致的，并且如果 $X$ 上存在与 $\mathfrak{T}$ 兼容的线性排序，那么我们一定有 $\mathfrak{T} = \mathfrak{T}_0(X)$。 [如果$X$是本地连接的，则使用b)。如果$X$是局部紧致的，则通过考虑邻域的边界，证明点$x \in X$的每个紧致邻域也是$x$相对于$\mathfrak{T}_0(X)$的邻域，通过考虑邻域]的边界。

d) 令$X$为$\mathbf{R}^2$由……组成或$(0, 0)$的子空间以及所有对$(x, y)$，使得$x > 0$和$y = \sin(1/x)$。证明 $X$ 上存在线性排序，它与 $\mathbf{R}^2$ 的拓扑在 $X$ 上诱导的拓扑兼容，但是这个拓扑严格比 $\mathfrak{T}_0(X)$ 更细 。 \ 给出连通 Hausdorff 空间 $X$ 的例，其中没有点具有连通邻域的基本系统，并且其上存在与 $X$ 的拓扑兼容的线性排序 [cf. 章 I, § 11、习题 2 b)]。