习题 19, § 2

a) 令 $X$ 为连通的 Hausdorff 空间，并令 $a, b$ 为 $X$ 的两个不同的点，这样除了 $X$ 本身之外，$X$ 不存在连通的 \emph{close} 子集，其中包含都是$a$和$b$。如果$x$是$X$的点，而不是$a$或$b$，则$C\{x\}$不连通当且仅当，对于每个$y \in C\{x\}$，在$C\{y\}$中有一个连通的子集，它在$X$中是闭合的并且包含$x$和点$a, b$之一。 [为了表明条件是必要的，请使用章I, § 11的习题4a)；为了证明它是充分的，令$A$（或$B$）为所有$y \in X$的集合，这样$C\{y\}$有一个连通的子集，它在$X$和包含$a$中闭合，并且$x$（分别为$b$和$x$）；证明 $A$ 和 $B$ 非空且开且彼此相距不相交的，并且$C\{x\} = A \cup B$。

b) 令 $X$ 为紧连通空间，其在两个点 $a, b$ 之间不可约（章 II, § 4，习题 19）。证明如果对于 $X$ 的不同点 $x, y$ 的每个对，$X$ 中存在一个紧凑连接的集合，其中包含 $y$ 和 $a, b$ 之一，但不存在包含 $x$，则 $X$ 上存在线性排序，使得 $\mathfrak{T}_0(X)$ 是 $X$ 上给定的拓扑（习题 15 和 16）。