习题 7, § 4

令 $X$ 为线性有序的集合。

a) 令$X_1$为$X$的完成（集合理论，章III, § 1，习题15）。 $X_1$ 是线性有序的集合，其元素为 $X$ 的子集 $A$，使得； (i) 如果$x \in A$和$y \leq x$，则$y \in A$； (ii) 如果$A$在$X$中至少有上界，则将属于绑定到$A$[这相当于$A$在$\mathfrak{T}_0(X)$中闭合的说]； $X_1$中的元素按包含排序。 $X_1$ 相对于拓扑 $\mathfrak{T}_0(X_1)$ [§ 2, 习题 6 a)] 是紧致的。 $X$到$X_1$的映射$x \to ]\leftarrow, x]$是严格保序的，如果我们认同$X$及其像在这个映射之下，那么$X$在$X_1$中是稠密的，并且$\mathfrak{T}_0(X)$ 由$\mathfrak{T}_0(X_1)$ 诱发。 $X_1$ 连通当且仅当 $X$ 没有间隙（§ 2，习题 7）。

b) 对于每个基数$c$，给出线性排序的集合$X$的例，它在拓扑$\mathfrak{T}_0(X)$中连接，并且$X$的任何点的邻域的每个基本系统都有基数$\geq c$ [使用 § 1、习题 4 b) 中的 a) 和方法]。

c) 对于a)的记号，令$X_2$为词典乘积$X_1 \times \{-1, 0, 1\}$的子集，它是以下集合由……组成的补集： (i) 点$(x, 0)$，其中$x \notin X$； (ii) 点$(x, 1)$，其中$X$中所有$y > x$的$x \in X$和集合有最小的元素； (iii) 点$(x, -1)$，其中$X$中所有$y < x$的$x \in X$和集合有最大元素。证明 $X_2$ 具有拓扑 $\mathfrak{T}_0(X_2)$，是紧致且完全不连通的，$X$ 可以通过严格保序映射 $x \to (x, 0)$ 来识别，其中子集为 $X_2$，并且由$\mathfrak{T}_0(X_2)$在$X$上引起的拓扑是离散的。

d) 设 $X'$ 为线性有序集合包含 $X$，其中诱导 $X$ 上给定的阶结构，在拓扑 $\mathfrak{T}_0(X')$ 中是紧的，并且使得 $X$ 是稠密的$X'$ 相对于此拓扑。证明存在连续保序满射映射 $f : X' \to X_1$ 和连续保序满射映射 $g : X_2 \to X'$，两者都在$X$ 上诱导恒等映射。