习题 9, § 6

a) 令$X$和$Y$为两个Hausdorff空间，并令$\pi : X \to Y$为真映射（章I, § 10, no. 1）。令$g$为$X$上的下半连续实值函数。对于每个$y \in Y$，令$f(y)$为集合$\overline{\pi}^{-1}(y)$中$g$的下确界[因此如果$\overline{\pi}^{-1}(y) = \varnothing$则为$f(y) = +\infty$]。证明 $f$ 在 $Y$ 上是下半连续的。 [使用以下事实：$\pi(X)$ 是封闭的，$\overline{\pi}^{-1}(y)$ 对于所有 $y \in \pi(X)$ 都是紧致的，并且 $\overline{\pi}^{-1}(y)$ 包含邻域的每个邻域相对于等价关系 $\pi(x) = \pi(x')$ 都是饱和的。]

b) 令$g$为在$\mathbf{R} \times ]0, +\infty[$上定义的连续函数$|x_1 x_2 - 1|$，并且对于每个$x_1 \in \mathbf{R}$令$f(x_1) = \inf_{x_2 > 0} g(x_1, x_2)$。证明$f$不是下半连续。