Bourbaki

习题 16, § 7

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一般拓扑, IV, 400

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令(un)(u_n)为有限实数的序列，使得其一般项为unu_n的级数是收敛的，但不是绝对收敛的。证明存在 N\mathbf{N} 满足条件章 III, § 5、习题 6 a) 的置换 σ\sigma，但不存在级数，其通项为uσ−1(n)u_{\sigma^{-1}(n)}收敛。 [令h,k,mh, k, m为三个整数，具有以下属性：如果p1,…,prp_1, \ldots, p_r是整数nn，使得h≤n<h+mh \leq n < h + m和un≥0u_n \geq 0，则up1+⋯+upr>2u_{p_1} + \cdots + u_{p_r} > 2和h+m<k−rh + m < k - r；此外，如果μ,ν\mu, \nu是任何整数使得h+m≤μ≤νh + m \leq \mu \leq \nu，则∣∑n=μνun∣≤1\left| \sum_{n=\mu}^{\nu} u_n \right| \leq 1。放置s=m−rs = m - r并让q1,…,qsq_1, \ldots, q_s表示整数nn，使得h≤n<h+mh \leq n < h + m和un<0u_n < 0。考虑N\mathbf{N}的区间[h,k+s][h, k + s]的置换π\pi，使得π(pi)=k−i+1\pi(p_i) = k - i + 1为1≤i≤r1 \leq i \leq r，π(qj)=k+j\pi(q_j) = k + j为1≤j≤s1 \leq j \leq s，π(k+j)=h+s−j\pi(k + j) = h + s - j为1≤j≤s1 \leq j \leq s，π(k−i+1)=h+s+i−1\pi(k - i + 1) = h + s + i - 1为1≤i≤r1 \leq i \leq r，最后π(n)=n\pi(n) = n，h+m≤n≤k−rh + m \leq n \leq k - r；表明我们有

∣∑i=hkui−∑i=hkuπ−1(i)∣≥1. \left| \sum_{i=h}^k u_i - \sum_{i=h}^k u_{\pi^{-1}(i)} \right| \geq 1.

解答

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