习题 16, § 1

令$X$为完整的豪斯多夫均匀度空间，并令$\mathscr{U}$为$X$的均匀度。

a) 设$A$为$X$的子集，即闭集合的序列$(F_n)$的并，并设$x \notin A$。证明$X$上存在连续有限实值函数$f \geq 0$，使得所有$y \in A$都有$f(x) = 0$和$f(y) > 0$。 （如果$g_n$是$X$到$[0, 1]$的连续映射，使得所有$y \in F_n$都有$g_n(x) = 0$和$g_n(y) = 1$，请考虑函数

b) 令$h \geq 0$为$X$上的连续实值函数，令$V$为开集合$\overline{h}([0, +\infty[)$。令$\mathscr{U}'$为$V$上的均匀度，它是由$\mathscr{U}$引起的均匀度和伪度量定义的均匀度中最小的上界

证明 $V$ 相对于 $\mathscr{U}'$ 是完备的。

c) Let $B$ be a subset of $X$ which is the intersection of a family of sets $(A_\lambda)$, each of which is the union of a countable family of closed sets. 证明 $B$ 上存在均匀性，它与 $X$ 的拓扑在 $B$ 上诱导的拓扑兼容，并且 $B$ 对于该均匀性是完备的 [使用 b)]。