习题 20, § 1

a) 令$X$为完全正则空间，令$a$为$X$的点。那么$X$上存在连续的函数$f \geq 0$，使得每当$x \neq a$时都有$f(a) = 0$和$f(x) > 0$，当且仅当$X$中$a$的邻域存在序列$(V_n)$，使得$\bigcap_n V_n = \{a\}$ [cf. 习题 16 a)]。

b) 设$X$是完全正则空间，其中每个点都有一个可数基数系统邻域。证明，在 Stone-Čech 紧致化 $\beta X$ 中，集合 $X$ 等于点的集合，其在 $\beta X$ 中具有邻域的可数基本系统 [使用 a) 和习题 12]。令$X'$为另一个完全正则空间，其中每个点都有一个可数基数系统为邻域。证明如果 Stone-Čech 紧化 $\beta X$ 和 $\beta X'$ 同胚，则 $X$ 和 $X'$ 同胚。