习题 21, § 1

a) 设$X$为拓扑空间。证明以下两个性质是等价的： $\alpha)$ $X$ 上的每个有限连续实值函数都是有界的； $\beta$) $X$ 上的每个有界连续实值函数都达到其界限。如果$X$具有这些属性，则称其为“伪紧”。如果 $X$ 是伪紧的，并且如果 $f$ 是 $X$ 到拓扑空间 $X'$ 的任何连续映射，则 $f(X)$ 是伪紧的。

b) Consider the following two properties of a topological space $X$: $\gamma)$ if $(U_n)$ is any countable open covering of $X$, then $X$ is the union of a finite number of the closures $\overline{U}_n$; $\delta)$ every countable filter base on $X$ which is formed of open sets has at least one cluster point. 证明 $\gamma)$ 和 $\delta)$ 是等价的，并且它们暗示 $X$ 是伪紧的。 特别是，每个绝对闭拓扑空间 (章 I, § 9, 习题 19) 都是伪紧的。 If $X$ has properties $\gamma)$ and $\delta)$, then so does every subspace of $X$ which is the closure of an open set of $X$ [cf. § 4, Exercise 26 b)].

c) 考虑拓扑空间$X$的以下性质：$\zeta)$$X$的每个局部有限开覆盖​​都是有限的。证明$\zeta) \Longrightarrow \gamma)$。 [如果$(U_n)$是$X$的开子集的递增序列，覆盖$X$并且使得$U_{n+1} \not\subset \overline{U}_n$，则考虑由集合$U_{n+1} \cap \complement \overline{U}_n$和序列$(a_n)$的补集形成的覆盖使得

如果$X$是正则，则证明$\gamma) \Longrightarrow \zeta)$。 [Let $(U_\alpha)$ be an infinite, locally finite, open covering of $X$. 定义 by 归纳序列 $(\alpha_n)$ of 指标, 序列 $(x_n)$ of 点 of $X$, and for each $x_n$ two open 邻域 $V_n$ and $W_n$ of $x_n$ such that: (i) we have $\overline{V}_n \subset W_n$, $W_n \subset U_{\alpha_n}$, and $W_n$ meets only a finite 数 of 集合 $U_\alpha$; (ii) $U_{\alpha_n}$ meets none of the $W_k$ with 指标 $k < n$. Now consider the covering formed by the $W_n$ and the complement of 并 of the $\overline{V}_n$.]

d) 在完全正则的空间$X$中，属性$\alpha), \beta), \gamma), \delta)$和$\zeta)$都是等价的，并且等价于以下性质：$\theta)$$X$在与其拓扑兼容的任何均匀性中都是预紧的。 [证明$\alpha) \Longrightarrow \zeta)$、注，如果$(U_n)$是$X$的可数无限、局部有限、开覆盖，并且如果$a_n \in U_n$，则在$X$上存在连续实值函数$f$，使得每个$f(a_n) = n$ $n$ [使用 (O_{IV})]。要证明 $\theta) \Longrightarrow \alpha)$，请使用习题 5 并观察在预紧式空间中，每个均匀连续实值函数都是有界的。为了证明$\gamma) \Longrightarrow \theta)$，注，如果$X$相对于均匀性$\mathscr{U}$不是预紧的，则存在$\mathscr{U}$的对称周边$V$和点的序列$(x_n)$ $X$使得集合$V(x_n)$中没有两个相交。]

e) 如果 $X$ 是完全正则伪紧空间，并且在与其拓扑兼容的某些一致性方面是完备的，则 $X$ 是紧的。

f) 在完全正则伪紧空间$X$上，通用均匀性(习题5)是由$X$的Stone-Čech紧致化均匀性导出的，并且是与$X$的拓扑兼容的唯一均匀性，对于其所有连续的映射 $X$ 到 $[0, 1]$ 是均匀连续的。