习题 6, § 1

a) 令$X$为完全正则空间，令$\mathscr{U}$为与$X$的拓扑兼容的均匀性。 Let $\mathscr{U}^*$ be the coarsest uniformity on $X$ which makes uniformly continuous all the mappings of $X$ into $[0, 1]$ which are uniformly continuous with respect to $\mathscr{U}$. 证明均匀性 $\mathscr{U}^*$ 是 Hausdorff 且与 $X$ 的拓扑兼容，并且 $X$ 相对于 $\mathscr{U}^*$ 是*预紧*。

b) 设 $K$ 为紧空间。 证明对于$\mathscr{U}$均匀连续的每个映射$f : X \to K$对于$\mathscr{U}^*$也均匀连续（注，$K$上的唯一均匀性是最粗糙的，$K$到区间$[0, 1]$的所有连续映射都是均匀连续的）。 因此表明$\mathscr{U}^*$是$X$上最好的均匀性，它比$\mathscr{U}$更粗糙，并且$X$是预紧的。