习题 7, § 1

设$X$是完全正则的空间。如果$\mathscr{U}_0$表示$X$（习题5）上的普遍均匀性，则$\mathscr{U}_0^*$（习题6）是$X$上的最粗糙均匀性，其中$X$到$[0, 1]$的所有连续映射都是一致连续的。令$\beta X$表示通过关于均匀性$U_0^*$完成$X$获得的紧凑空间。 $\beta X$ 被称为 $X$ 的 Stone-Čech 紧致化。

a) 证明将 $X$ 的每个连续映射转化为紧凑的空间 $K$ 可以扩展到将 $\beta X$ 的连续映射转化为 $K$ (cf. 集合理论, 章 IV, § 3）。

b) 令$f$为$X$到紧致空间$K$的稠密子集$X'$的同胚，并令$\bar{f}$为映射$\beta X \to K$其中扩展 $f$。显示$\bar{f}(\beta X - X) = K - X'$。 [假设有点$a \in \beta X - X$使得$\bar{f}(a) = f(b)$，其中$b \in X$；考虑连续的映射$g : \beta X \to [0, 1]$，使得$g(a) = 1$和$g(b) = 0$，并让$P$表示所有$x \in \beta X$中的集合，使得$g(x) \geq 1/2$。存在连续的映射 $h : K \to [0, 1]$，使得所有 $x \in P$ 都有 $h(f(b)) = 0$ 和 $h(f(x)) = 1$；表明关系 $h(f(a)) = 0$ 与……矛盾 $a$ 位于 $\beta X$ 中 $P$ 的闭包中。]