习题 14, § 2

a) 令 $X$ 为可达拓扑空间 (章 I, § 8, 习题 1)。证明以下性质是等价的：

$\alpha$ $X$ 的点中的每个序列都有一个簇点。 $\beta$ $X$ 的无限离散子空间不闭。 $\gamma$$X$包含的每个可数开覆盖$X$有限开覆盖​​。 $\delta$ 给定$X$的任何无限开覆盖$\mathfrak{R}$，存在$X$的开覆盖$\mathscr{G} \subset \mathfrak{R}$，与$\mathfrak{R}$不同。

如果拓扑空间 $X$ 是 Hausdorff 且具有上述性质，则称其为“可数紧”。

b) 可数紧致空间中的点的序列收敛当且仅当它具有唯一的簇点。

c) 可数紧致空间的每个闭子空间都是可数紧致。相反，如果 $X$ 是 Hausdorff，并且 $X$ 的每个点都有邻域的可数基数系统，则 $X$ 的每个可数紧致子空间都在 $X$ 中闭合。

d) 设$f$是可数紧致空间$X$到Hausdorff空间$X'$的连续映射。那么$f(X)$是$X'$的可数紧子空间。

e) 令$X$为可数紧致空间，其中每个点都有一个可数基数系统为邻域。那么$X$的点的每一个序列都有一个收敛子序列。

f) 设$(X_n)$是拓扑空间的可数序列，其中每个点都有一个邻域的可数基本系统。

乘积空间 $\prod_{n=1}^\infty X_n$ 是可数紧致的当且仅当空间 $X_n$ 中的每一个都是可数紧致的。 [使用 e) 和章 I, § 6、习题 16。]

g) 可数紧致空间，其中每个点都有邻域的可数基本系统是正则的。

h) 如果可数紧致空间具有开集合的可数基，则它是紧致的，因此可度量。

i) 可数紧凑空间上的每个下半连续实值函数都达到其下确界。特别是，每个可数紧致空间都是伪紧致 ($\S \ 1,$ 习题 21) [cf. $\S \ 4,$ 习题 26 b)]。

j) 表明 a) 的性质 $\delta)$ 意味着以下内容：

$\zeta)$ 每个点有限 ($\S \ 4,$ no. 3) $X$ 包含 $X$ 的有限开覆盖。 （通过矛盾论证。）相反，满足 $\zeta)$ 的正则空间是可数紧的 [表明 $\zeta)$ 则蕴含 $\beta)$]。