习题 25, § 2

令$X$为可度量的空间，令$\beta X$为其Stone-Čech压缩（$§ 1$，习题7），并令$d$为与$X$的拓扑兼容的有界度量。对于每个$x \in X$，让$f_x(y)$表示通过连续地将$y \to d(x, y)$延伸到$\beta X$获得的实值函数。

a) 当$x$和$y$在$X$且$z$在$\beta X$时，证明$f_x(z) + f_y(z) \geq d(x, y)$。对于$x \in \beta X$以外的每个$y \in \beta X$，显示$f_x(y) > 0$。

b) 证明如果$X$相对于度量$d$是完备的，则$X$是$\beta X$中开集合的序列的交。 [考虑所有$y \in \beta X$中的集合$G_n$，使得$f_x(y) < 1/n$至少有一个点$x \in \varphi X$，并使用$a$显示$X = \bigcap_n G_n$。]

c) 相反，证明如果$\beta X$中$X$是开放集合$G_n$的序列交，则$X$上存在一个与$X$的拓扑兼容的度量$d'$，且 $X$ 是完整的。 [仅考虑紧集$F_n = \beta X - G_n$家庭中$X \neq \beta X$、注即$\beta X - X$为并的情况；对于每个$n$，让$g_n(x) = \inf_{y \in F_n} f_x(y)$，并使用$a$表明$g_n(x) > 0$对于所有$x \in X$，并且$g_n$在$X$上连续。按照$§ 1$的习题 16 b) 完成证明。]