习题 6, § 2

令 $X$ 为度量空间。如果$A$和$B$是$X$的两个非空子集，则将

还为 $X$ 的任何非空子集 $A$ 放置$\sigma(\emptyset, \emptyset) = 0, \sigma(\emptyset, A) = \sigma(A, \emptyset) = +\infty$。证明$\sigma$是$X$的所有子集的集合$\mathfrak{P}(X)$上的伪度量，并且$\sigma$重合定义的均匀性与通过章的过程从$X$的均匀性构造的均匀性II, § 1、习题5。

假设 $X$ 是*有界*。那么$\sigma$是$X$的非空闭子集在集合$\mathfrak{F}(X)$上的*度量*。此外，如果$X$是*完整的*，则表明$\mathfrak{F}(X)$是一个完整的度量空间[让$\Phi$是$\mathfrak{F}(X)$上的柯西滤波器；对于每个集合$\mathscr{X} \in \Phi$，令$S(\mathscr{X})$为子集$A$或$X$的并，其中属于到$\mathscr{X}$；表明集合 $S(\mathscr{X})$ 形式 $X$ 上的过滤器基，因为 $\mathscr{X}$ 贯穿$\Phi$，该过滤器基具有集群点的非空集合 $C$，并且$\Phi$收敛于$C$]。