习题 12, § 3

令$K$为非离散豪斯多夫拓扑划分环，并令$\varphi : K \to \mathbf{R}_+$为映射，使得$\varphi(0) = 0, \varphi(xy) = \varphi(x)\varphi(y)$，并且如果$V_n$表示所有$x \in K$的集合，使得$\varphi(x) \leq 1/n$， 集合 $V_n$ 形式 $K$ $0$ 的邻域的基本系统。

a) 证明存在实数 $a > 0$，对于所有 $x \in K$，

[如果不是，则存在序列$(x_n)$/点/$K$，使得$(1 + x_n)^{-1}$和$x_n(1 + x_n)^{-1}$都趋向于零]。因此证明如果 $\psi(x) = (\varphi(x))^{\alpha}$ 我们有 对于$\alpha$足够小。

b) 证明如果$n = 2^p$我们有$\psi \left( \sum_{i=1}^n x_i \right) \leq n \sup (\psi(x_i))$，并推断对于每个整数$m > 0$我们有$\psi(m) \leq 2m$。

c) 从 b) 中推出，对于每个 $n = 2^p$ 和每个 $x \in K$，我们都有 $\psi((1 + x)^{n-1}) \leq 2n(1 + \psi(x))^{n-1}$，因此 $\psi$ 是 $K$ 上的*绝对值*，其中定义拓扑是 $K$。