习题 10, § 4

令$L$为不可数集合，并令$X$表示完全正则空间$N^L$（$N$携带离散拓扑）。令$A$（或$B$）为$X$中所有$x = (x(\lambda))_{\lambda \in L}$的集合，使得对于$\lambda \in L$的每个整数$k \neq 0$（或$k \neq 1$）集合，使得$x(\lambda) = k$有最多 1 个元素。

a) 证明$A$和$B$是$X$的不相交的闭子集。

b) 令$U, V$为$X$的两个开子集，使得$A \subset U$和$B \subset V$。令$\Phi$表示$X$（章I, § 4, no. 1）中所有初等集合的集合，其与$N$不同的投影由单个元素组成；对于每个$W \in \Phi$，令$H(W)$为所有$\lambda \in L$中的集合，使得$pr_\lambda(W)$由单个元素组成。表明有$A$点序列$(x_n)$、$\Phi$集合序列$(U_n)$、不同的元素序列$(\lambda_n)$ $L$ 和整数的严格递增的序列 $(m(n))_{n \in \mathbf{N}}$ 具有以下属性： (i) $U_n \subset U$ 是 $x_n$ 的邻域； (ii) $H(U_n)$是所有$\lambda_k$中的集合，使得$k \leq m(n)$； (iii) 对于每个$\lambda \in L$，以及对于每个$n > 0$，$x_0(\lambda) = 0$，如果$k \leq m(n-1)$则为$x_n(\lambda_k) = k$，对于所有其他$\lambda \in L$为$x_n(\lambda) = 0$。

c) 令$y \in B$为点，使得$y(\lambda_k) = k$对应于每个整数$k$，$y(\lambda) = 1$对应于除$\lambda_k$之外的所有$\lambda \in L$。令$V_0 \subset V$为$\Phi$的集合，其中包含$y$，并令$n$为整数，使得$\lambda_k \in L - H(V_0)$对于所有$k > m(n)$。证明$U_{n+1} \cap V_0 \neq \varnothing$，并推断$X$不是正规的。