习题 17, § 4

a) 如果拓扑空间 $X$ 的每个有限开覆盖可整除 (习题 16)，则 $X$ 满足公理 $(O'_V)$（考虑 $X$ 的 二元 开覆盖，即由两个子集形成的一个） $X$）。相反，如果$X$满足$(O'_V)$，则$X$的每个有限开覆盖都是偶数[使用no. 3的定理 3，只要$X$满足$(O'_V)$，到约化到二进制覆盖的情况，然后再次处理这个案]。由于$\mathfrak{R}$贯穿$X$的有限开覆盖​​的集合，集合$V_{\mathfrak{R}}$形式是$X$上均匀性的基本随从系统，与$X$的拓扑兼容；这种均匀性被称为“有限开放覆盖的均匀性”。

b) 假设$X$是正规的。证明有限开放覆盖的均匀性 $\mathscr{U}$ 与最粗糙的均匀性 $\mathscr{U}'$ 相同，其中 $X$ 到 $[0, 1]$ 的所有连续映射都是一致连续的 [即，通过其 Stone-\v{C}ech 紧致化在 $X$ 上引入的均匀性（$§ 1$，习题7）]。 [为了证明$\mathscr{U}$比$\mathscr{U}'$更粗糙，请在阶到构造中使用no. 3的定理 3和公理$(O_V)$在形式$(x, y) \to |f(x) - f(y)|$的$X$上的有限伪度量族，这样，由这些伪度量定义的均匀性周围包含在均匀性$\mathscr{U}$的周围。

c) 令$X$为正常的空间，并令$\beta X$为其Stone-\v{C}ech紧致化。 对于$X$的每个闭包子集$Y$，令$\overline{Y}$为$\beta X$中$Y$的闭包。 证明$\beta Y$到$\overline{Y}$的连续映射，其中$Y$的扩展恒等映射（$\beta Y$是$Y$的Stone-\v{C}ech压缩）是同胚[要么使用b)，要么使用定理2和泛性质的 $\beta Y$]。 如果$Y$和$Z$是$X$的两个闭子集，则表明$\beta X$中的$\overline{Y \cap Z} = \overline{Y} \cap \overline{Z}$（如果$x_0 \notin \overline{Y \cap Z}$和$x_0 \in \overline{Y}$，则考虑$x_0$的闭邻域$V$） $\beta X$，使得$V \cap Y$和$Z$是不相交的闭子集或$X$）。