习题 20, § 4

a) 正则空间$X$是仿紧的，如果对于$X$的每个开覆盖$\mathfrak{R}$，存在序列$(\mathscr{S}_n)$，使得$\mathscr{S} = \bigcup_n \mathscr{S}_n$是$X$的开覆盖，它细化了$\mathfrak{R}$，并且使得每个$\mathscr{S}_n$都是局部的有限族（cf.引理4、5和6）。

b) 从a) 中推出，在仿紧式空间中，闭集合的每个可数并都是仿紧式子空间 (cf. $§ 5$, 习题 15)。

c) 在正则空间 $X$ 中，令$\mathfrak{F}$ 为闭集合的局部有限族，其中每个闭族都是 $X$ 的仿紧子空间。证明$\mathfrak{F}$的集合的并是$X$的仿紧子空间（使用no. 5的引理6；cf.$§ 5$，习题15）。

d) 证明如果 $X$ 是仿紧致空间并且 $Y$ 是正则空间，它是紧集的可数并，那么 $X \times Y$ 是仿紧致 [在其中嵌入 $Y$] Stone-\v{C}ech压实并使用b); cf.$§ 5$，习题16]。