习题 18, § 5

a) 证明在完整度量空间中，每个完美集合包含子集同胚于康托三元集合（章IV, § 2, no. 5）（使用章的习题11） IV, § 8）。

b) 推断，在具有可数基的完全度量空间中，每个完美集合都有幂连续统，并且每个闭集合和每个开集合要么是可数的，要么有幂连续统 [使用习题 11 b)]。

c) 证明在不可数完全度量空间和可数基中，完美子集的集合具有连续统的幂。 [首先证明断言对于紧凑的空间$\{0, 1\}^\mathbf{N}$，然后使用a)和§ 2，习题12b)。]

d) 令 $X$ 为不可数完整度量空间以及可数基。证明$X$存在子集$Z$，使得$Z$和$X - Z$都具有幂连续统，并且$Z$和$X - Z$包含都不是非空完美集合。 [使用集合理论中描述的b)和c)和方法，章III, § 6，习题24a)。]此外，如果$X$没有孤立的点，则表明$Z$和$X - Z$都不是微不足道。 （如果$A$是$X$的密集开子集的可数交，则使用c）和§ 2，习题24证明$A$包含非空完美集合。） $Z$不是$X$中的几乎开集合（习题6；注，上面的推理表明，如果$U$是$X$的任何非空开子集，则$U \cap Z$不是微薄）。