习题 6, § 5

如果$X$中存在开集合$U$，使得$U \cap \complement A$和$A \cap \complement U$都微不足道集合，则称拓扑空间$X$中的集合$A$几乎是开的。

a) 几乎开集合的补集是几乎开。

b) 几乎开集合中任何可数的并都是几乎开。

c) 证明以下叙述是等价的：$\alpha)$$A$几乎开； $\beta)$ $X$ 存在微薄的子集 $M$，使得$A \cap \complement M$ 在子空间 $X - M$ 中既开又闭； $\gamma)$存在集合$G \subset A$，它是$X$中开集合的可数交，使得$A - G$在$X$中微薄； $\delta)$存在集合$F \supset A$，它是$X$中封闭的集合的可数并，使得$F - A$在$X$中微薄； $\zeta)$ 集合 $D(A) \cap D(X - A)$ (习题 3) 在 $X$ 中并不密集； $\theta)$集合$D(A) \cap \complement A$在$X$中微薄。 [使用习题 3 a) 和 3 b) 来证明 $\alpha) \rightarrow \zeta) \rightarrow \theta) \rightarrow \alpha)$。]

d) 令$X, Y$为两个拓扑空间，并假设$X$或$Y$中的拓扑有一个可数的基。那么形式 $A \times B$ 的 $X / Y$ 的子集几乎是开的，当且仅当 $A$ 和 $B$ 几乎都是开的，或者其中之一是微不足道的[使用 $c$ 的 $\zeta$]。